Contoh soal dan pembahasan fisika SMA kelas 10 (X), materi Vektor; resultan, jumlah dan selisih vektor, perkalian titik dan silang vektor, penguraian gaya dan beberapa variasi soal terapan vektor. Penjumlahan dengan rumus kosinus, resultan beberapa vektor dengan metode penguraian atau analitis.

Soal No. 1
Diberikan dua buah vektor gaya yang sama besar masing-masing vektor besarnya adalah 10 Newton seperti gambar berikut.

Jika sudut yang terbentuk antara kedua vektor adalah 60°, tentukan nilai resultan kedua vektor!

Pembahasan
Resultan untuk dua buah vektor yang telah diketahui sudutnya

Soal No. 2
Dua buah vektor kecepatan P dan Q masing-masing besarnya 40 m/s dan 20 m/s membentuk sudut 60°.

Tentukan selisih kedua vektor tersebut!

Pembahasan
Menentukan selisih dua buah vektor yang diketahui sudutnya:

Soal No. 3
Dua buah vektor gaya masing – masing 8 N dan 4 N saling mengapit sudut 120°. Tentukan besar resultan kedua vektor tersebut!

Pembahasan
Data:
F₁ = 8 N
F₂ = 4 N
α = 120°
R = ........

Catatan rumus:
cos (180° − α) = − cos α
Sehingga untuk nilai cos 120°:
cos 120° = cos (180° − 60°) = − cos 60° = − ¹/₂
Soal No. 4

Perhatikan gambar berikut!

Jika satu kotak mewakili 10 Newton, tentukan resultan antara kedua vektor!

Pembahasan

Cari jumlah resultan pada sumbu x dan sumbu y, cukup dengan menghitung kotak dari masing-masing vektor, F₁ adalah 30 ke kanan, 40 ke atas, sementara F₂ adalah 50 ke kanan, 20 ke atas, kemudian masukkan rumus resultan:

Penyelesaian matematis jumlah vektor pada sumbu x dan sumbu y

Soal No. 5
Diberikan 3 buah vektor F₁=10 N, F₂ =25 N dan F₃=15 N seperti gambar berikut.

Tentukan:
a. Resultan ketiga vektor

b. Arah resultan terhadap sumbu X

[Sin 37° = (3/5), Sin 53° = (4/5)]

[Cos 37° = (4/5), Cos 53° = (3/5)]

Pembahasan

a. Ikuti langkah-langkah berikut:

1. Uraikan semua vektor ke sumbu x dan sumbu y (kecuali vektor yang sudah lurus pada sumbu x atau y seperti F₂). Lihat gambar di bawah!

2. Cari jumlah vektor pada sumbu x ( kanan +, kiri -)

3. Cari jumlah vektor pada sumbu y (atas +, bawah -)

4. Masukkan rumus resultan

Vektor yang dalam perhitungan selanjutnya tidak digunakan lagi karena sudah diuraikan tadi, dihapus saja, agar kelihatan lebih bersih, sisanya seperti ini:

Jumlah komponen vektor-vektor pada sumbu x dan y :
Gambar perhitungan matematis metode analitik vektor

b. Mencari sudut yang terbentuk antara resultan vektor R dengan sumbu x

tan θ =^ΣF_y/_{ΣF_x}
tan θ = ⁻⁷/₋₁ = 7
θ = arc. tan 7 = 81,87°

Soal No. 6
Ditentukan 2 buah vektor F yang sama besarnya. Bila perbandingan antara besar jumlah dan besar selisih kedua vektor sama dengan √3, tentukan besar sudut yang dibentuk oleh kedua vektor! (Sumber Soal : SPMB)

Pembahasan

Jumlah dan selisih kedua vektor masing-masing adalah:

Perbandingan jumlah dan selisihnya adalah √3 sehingga:

Kuadratkan ruas kiri dan kanan

Kali silang :

Soal No. 7
Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 180 m dan kecepatan airnya 4 m/s. Bila perahu diarahkan menyilang tegak lurus dengan kecepatan 3 m/s, tentukan panjang lintasan yang ditempuh perahu hingga sampai ke seberang sungai! (Sumber Soal : UMPTN)

Pembahasan

Asumsikan bahwa perahu bergerak lurus beraturan menempuh lintasan AD dan resultan kecepatan perahu dan air adalah 5 m/s (gunakan aturan Phytagoras). Dengan membandingkan sisi-sisi segitiga ABC dan ADE :

Tips

"Untuk dua buah vektor dengan besar yang sama dan membentuk sudut 120^o maka resultan kedua vektor besarnya akan sama dengan besar salah satu vektor"

Berikut ilustrasinya:

Gambar dua buah vektor dengan sudut 120 derajad

Dua buah vektor dengan besar yang sama yaitu 10 N membentuk sudut 120^o maka nilai resultan kedua vektor juga 10 N.

Berikut contoh soal diambil dari soal EBTANAS (UN tempo dulu, zaman kakak-kakak kita) tahun 2000.

Perhatikan gambar gaya-gaya di bawah ini!

Gambar 3 buah vektor dengan sudut 60 derajad

Besar resultan ketiga gaya tersebut adalah....

A. 2,0 N

B. 2 √3 N

C. 3,0 N

D. 3 √3 N

E. 4√3 N

Pada soal di atas 2 buah vektor (gaya) 3 N membentuk sudut 120^o, sehingga resultan kedua gaya juga 3 N. Resultan kedua gaya ini akan segaris dengan gaya 6 N, namun berlawanan arah. Sehingga dengan mudah soal ini bisa dijawab resultan ketiga gaya adalah 6 N dikurangi 3 N hasilnya adalah 3 N.

Soal No. 8
Diberikan 3 buah vektor :
a = 2i + 3j satuan
b = 4i + 5j satuan
c = 6i + 7j satuan
Tentukan besar resultan ketiga vektor, dan kemiringan sudut antara resultan dan sumbu X

Pembahasan

Data:

Gambar solusi 3 buah vektor dalam i dan j

Untuk lebih jelas berikut ilustrasinya:

12 pada sumbu x
15 pada sumbu y

Arahnya adalah sudut θ yang bisa dicari dari sin θ, cos θ maupun tan θ. Jika dicari dari tan θ maka yang dibandingkan nilai pada sumbu y dengan nilai pada sumbu x. Jika dicari dari sin θ yang dibandingkan nilai pada sumbu y dengan nilai resultan R, jika digunakan cos θ bandingkan nilai pada sumbu x dengan nilai resultan R. Soal No. 9
Diberikan 3 buah vektor a, b, c seperti gambar di bawah.

Gambar 3 buah vektor a,b c dengan arahnya

Gambar 3 buah vektor a,b c dengan arahnya

Dengan metode poligon tunjukkan :
(i) d = a + b + c
(ii) d = a + b − c
(iii) d = a − b + c

Pembahasan

Dengan metode poligon :
(i) d = a + b + c

Pembahasan vektor poligon (1)

(ii) d = a + b − c

Pembahasan vektor poligon (2)

(iii) d = a − b + c

Pembahasan vektor poligon (3)

Soal No. 10
Diberikan dua buah vektor masing-masing vektor dan besarnya adalah A = 8 satuan, B = 10 satuan. Kedua vektor ini membentuk sudut 37°. Tentukan hasil dari:
a) A⋅ B
b) A × B

Pembahasan
a) A⋅ B adalah perkalian titik (dot) antara vektor A dan vektor B
Untuk perkalian titik berlaku
A⋅ B = A B cos θ
Sehingga
A⋅ B = A B cos 37° = (8)(10)(0,8) = 64 satuan

b) A × B adalah perkalian silang (cross) vektor A dan vektor B
Untuk perkalian silang berlaku
A × B = A B sin θ
Sehingga
A × B = A B sin 37° = (8)(10)(0,6) = 48 satuan
Soal No. 11Sebuah gaya F = (2i + 3j) N melakukan usaha dengan titik tangkapnya berpindah menurut r = (4i + aj) m dan vektor i dan j berturut-turut adalah vektor satuan yang searah dengan sumbu x dan sumbu y pada koordinat kartesian. Bila usaha itu bernilai 26 J, maka nilai a sama dengan...
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
E. 12
Sumber: Soal UMPTN Tahun 1991

Pembahasan
Soal ini adalah soal penerapan perkalian titik (dot product ) antara vektor gaya F dan vektor perpindahan r dengan kedua vektor dalam bentuk i dan j atau vektor satuan. Besaran yang dihasilkan nantinya adalah skalar (usaha termasuk besaran skalar, hanya memiliki besar, tanpa arah). Usaha dilambangkan dengan W dari kata work.
W = F ⋅ r
26 = (2i + 3j)⋅ (4i + aj)

Cara perkalian titik dua vektor dalam bentuk i,j adalah yang i kalikan i, yang j kalikan j, hingga seperti berikut
26 = 8 + 3a
3a = 26 − 8
a = 18/3 = 6
i dan j nya jadi hilang karena i kali i atau j kali j hasilnya adalah satu.
Bagaimana cara perkalian silang dua vektor dalam bentuk i dan j ? ntar kita tambahkan,...IA
Soal No. 12
Diberikan dua buah vektor masing-masing:
A = 4i + 3j − 2k
B = 7i + 2j + 5k
Tentukan hasil dari A × B

Pembahasan
Perkalian silang, A × B
Cara pertama:
Misal :
A = (A_x i + A_y j + A_z k) dan B = (B_x i + B_y j + B_z k)

maka :

A × B = (A_y B_z − A_z B_y) i + (A_z B_x − A_x B_z) j + (A_x B_y − A_y B_x) k

↑
Rumus Perkalian Silang Dua Vektor (cross product ) dalam i, j, k

Data :
A = 4i + 3j − 2k
B = 7i + 2j + 5k

A_x = 4
A_y = 3
A_z = − 2

B_x = 7
B_y = 2
B_z = 5

maka
A × B = (A_y B_z − A_z B_y) i + (A_z B_x − A_x B_z) j + (A_x B_y − A_y B_x) k
A × B = [(3)(5) − (−2)(2)] i + [(−2)(7) − (4)(5)]j + [(4)(2) − (3)(7)] k
A × B = (15 + 4)i + (−14 − 20)j + (8 − 21)k
A × B = 19 i −34 j − 13k

Lumayan repot kalau mau dihafal rumus perkalian di atas, alternatifnya dengan cara yang kedua,

Cara Kedua:
A = 4i + 3j − 2k
B = 7i + 2j + 5k
Susun dua vektor di atas hingga seperti bentuk berikut:

Untuk mempermudah perkalian, tambahkan dua kolom di sebelah kanan susunan yang telah dibuat tadi hingga seperti berikut:

Beri tanda plus dan minus, ikuti contoh berikut:

Kalikan menyilang ke bawah terlebih dahulu dengan memperhatikan tanda plus minus yang telah dibuat, lanjutkan dengan menyilang ke atas,
A × B = (3)(5) i + (−2)(7) j + (4)(2)k − (7)(3)k − (2)(−2) i − (5)(4) j
A × B = 15 i −14 j + 8 k − 21k + 4 i − 20j
A × B = (15 + 4) i + (− 14 − 20) j + (8 − 21) k
A × B = 19 i − 34 j − 13 k

[+/-] Selengkapnya...

Pernahkah Anda melihat atau mengamati pesawat terbang yang mendarat di landasannya? Berapakah jarak tempuh hingga pesawat tersebut berhenti? Ketika Anda menjatuhkan sebuah batu dari ketinggian tertentu, berapa waktu yang dibutuhkan hingga mencapai permukaan tanah? Semua pertanyaan tersebut berhubungan dengan gerak yang akan dibahas dalam Materi Pelajaran Kinematika Gerak.

Dalam Materi Pelajaran Kinematika Gerak, Anda akan mempelajari gerak satu dimensi tanpa mempedulikan penyebabnya atau disebut dengan gerak lurus. Sebagai contoh, sebuah mobil yang bergerak pada lintasan yang licin dengan kecepatan tertentu. Anda dapat menentukan seberapa cepat mobil tersebut melaju dan seberapa jauh jarak yang dapat ditempuh dalam selang waktu tertentu. Untuk lebih mempermudah dalam memahami materi gerak dalam satu dimensi, pelajari bahasan-bahasan dalam Materi Pelajaran Kinematika Gerak dengan saksama. Langsung saja kita simak selengkapnya…..

A. Pendahuluan dan Pengertian

Gerak adalah satu kata yang digunakan untuk menjelaskan aksi, dinamika, atau terkadang gerakan dalam kehidupan sehari-hari. Suatu benda dikatakan bergerak apabila kedudukannya berubah terhadap acuan/posisi tertentu. Suatu benda dikatakan bergerak bila posisinya setiap saat berubah terhadap suatu acuan tertentu. Konsep mengenai gerak yang dirumuskan dan dipahami saat ini didasarkan pada kajian Galileo dan Newton. Cabang ilmu fisika yang mempelajari tentang gerak disebut mekanika. Mekanika terdiri dari kinematika dan dinamika.
Kinematika adalah ilmu yang mempelajari bagaimana gerak dapat terjadi tanpa memperdulikan penyebab terjadinya gerak tersebut. Sedangkan dinamika adalah ilmu yang mempelajari gerak dengan menganalisis seluruh penyebab yang menyebabkan terjadinya gerak tersebut. Seperti apa yang menyebabkan sebuah bulu ayam jatuh tidak bersamaan dengan kertas yang diremas. Padahal menurut Galileo semua benda akan jatuh bersamaan jika dijatuhkan dari ketinggian yang sama.

B. Gerak Lurus

Gerak lurus adalah gerakan suatu benda/obyek yang lintasannya berupa garis lurus (tidak berbelok-belok). Dapat pula jenis gerak ini disebut sebagai suatu translasi beraturan. Pada rentang waktu yang sama terjadi perpindahan yang besarnya sama. Seperti gerak kereta api di rel yang lurus.

1. Posisi

Posisi atau kedudukan adalah suatu kondisi vektor yang merepresentasikan keberadaan satu titik terhadap titik lainnya yang bisa dijabarkan dengan koordinat kartesius, dengan titik (0,0) adalah titik yang selain dua titik tersebut namun masih berkolerasi atau salah satu dari dua titik tersebut.

2. Jarak dan Perpindahan

Jarak adalah panjang lintasan sesungguhnya yang ditempuh oleh suatu benda dalam waktu tertentu mulai dari posisi awal dan selesai pada posisi akhir. Jarak merupakan besaran skalar karena tidak bergantung pada arah. Oleh karena itu, jarak selalu bernilai positif. Besaran jarak adalah ‘s’.
Perpindahan adalah perubahan posisi atau kedudukan suatu benda dari keadaan awal ke keadaan akhirnya. Perpindahan merupakan besaran vektor(untuk lebih jelasnya, simak gambar di bawah). Perpindahan hanya mempersoalkan jarak antar kedudukan awal dan akhir suatu objek. Besaran perpindahan adalah ‘d’. Untuk mengetahui perbedaan antara jarak dan perpindahan, mari kita simak gambar dibawah ini:

Heri dan Dita setiap pagi berangkat sekolah bersama-sama. Heri menempuh jarak 700 m, yaitu menempuh 300 m dari rumahnya menuju rumah Dita dan menempuh lagi 400 m dari rumah Dita menuju sekolah. Namun, perpindahan Heri sejauh 500 m dari rumahnya menuju sekolah.

3. Kelajuan dan Kecepatan

Kelajuan adalah besarnya kecepatan suatu objek. Kelajuan tidak memiliki arah sehingga termasuk besaran skalar. Rumus kelajuan adalah sebagai berikut:

Keterangan:

v = kelajuan rata-rata (m/s)

s = jarak (m)

t = waktu tempuh (s)

Satuan diatas menggunakan SI. Sedangkan jika anda ingin menggunakan satuan km/h. Maka rubah saja satuan jarak menjadi ‘k’ dan waktu tempuh menjadi ‘h’.
Kecepatan adalah besaran vektor yang menunjukkan seberapa cepat benda berpindah. Kecepatan juga bisa berarti kelajuan yang mempunyai arah. Misal sebuah mobil bergerak ke timur dengan kecepatan 60 km/jam. Rumus kecepatan tidak jauh berbeda dengan rumus kelajuan bahkan bisa dikatakan sama. Rumusnya adalah sebagai berikut:

Keterangan:

v = kecepatan rata-rata (m/s)

s = perpindahan (m)

t = selang waktu (s)

4. Gerak Lurus Beraturan

Gerak lurus beraturan (GLB) adalah gerak yang lintasannya lurus dan kecepatannya tetap. Cara menghitung jarak dari suatu gerak beraturan. Yaitu dengan mengalikan kecepatan(m/s) dengan selang waktu(s).

Keterangan:

v = kecepatan rata-rata (m/s)

s = perpindahan (m)

t = selang waktu (s)

5. Gerak Lurus Berubah Beraturan

Gerak lurus berubah beraturan (GLBB) adalah gerak yang lintasannya lurus dan kecepatannya berubah secara beraturan/berpola. Ada dua kemungkinan GLBB, yaitu GLBB dipercepat dan GLBB diperlambat. Rumus GLBB dituliskan sebagai berikut.

Keterangan:

v_t= kecepatan akhir atau kecepatan setelah t sekon (m/s)

v₀= kecepatan awal (m/s)

a = percepatan (m/s²)

t = selang waktu (s)

s = jarak tempuh (m)

Selain itu, anda juga bisa menghitung jarak tempuh yang dialami benda yang bergerak lurus berubah beraturan dengan rumus luas matematika.

Percepatan adalah perubahan kecepatan dalam satuan waktu tertentu. Percepatan termasuk besaran vektor. Satuan SI percepatan adalah m/s². Percepatan bisa bernilai positif dan negatif. Bila nilai percepatan positif, hal ini menunjukkan bahwa kecepatan benda yang mengalami percepatan positif ini bertambah (dipercepat). Sedangkan bila negatif, hal ini berarti kecepatannya menurun (diperlambat). Jika gerak suatu benda lurus dan kecepatannya tidak berubah, maka resultan percepatannya adalah 0. Rumus percepatan adalah sebagai berikut.

Keterangan:

a = percepatan rata-rata (m/s²)

= perubahan kecepatan (m/s)

= selang waktu (s)

C. GLBB dalam Kehidupan

1. Gerak Jatuh Bebas

Gerak jatuh bebas adalah gerak sebuah objek yang jatuh dari ketinggian tanpa kecepatan awal yang dipengaruhi oleh gaya gravitasi. Benda-benda yang jatuh bebas di ruang hampa mendapat percepatan yang sama. Benda-benda tersebut jika di kenyataan mungkin disebabkan karena gaya gesek dengan udara. Rumus-rumus gerak jatuh bebas adalah sebagai berikut.

Keterangan:

v_t = kecepatan saat t sekon (m/s)

g = percepatan gravitasi bumi (9,8 m/s²)

h = jarak yang ditempuh benda (m)

t = selang waktu (s)

2. Gerak Vertikal ke Bawah

Gerak Vertikal ke bawah adalah gerak suatu benda yang dilemparkan vertikal ke bawah dengan kecepatan awal dan dipengaruhi oleh percepatan. Rumus-rumus gerak vertikal ke bawah adalah sebagai berikut.

Keterangan:

h = jarak/perpindahan (m)

v₀= kecepatan awal (m/s)

v_t = kecepatan setelah t (m/s)

g = percepatan gravitasi (9,8 m/s²)

t = selang waktu (s)

3. Gerak Vertikal ke Atas

Gerak vertikal ke atas adalah gerak suatu benda yang dilempar vertikal ke atas dengan kecepatan awal tertentu (v₀) dan percepatan g saat kembali turun. Rumus gerak vertikal ke atas adalah sebagai berikut.